Кантор шагнул в пропасть. Толпа за ним...

[metafilosof]

Кантор шагнул в пропасть. Толпа за ним...

Произошла это в 1891г , хотя еще в 1976г Н.И.Лобачевский говорил: За пределами нашего актуального мира параллельные Евклида не только пересекаются, но и завязываются в морской узел, поскольку законы там с неизбежностью другие. Какие, к черту, трансфинитные числа Кантоа, бандерлоги?!

Заслуга Кантора состоит в том, что он первый от спекулятивных рассуждений о возможности или невозможности актуальной бесконечности перешел к ее практическому, логико-математическиму употреблению! А это значит, что благодаря Кантору понятие актуальной бесконечности впервые стало доступно для строгого, формально-логического (конечно, в смысле классической логики Аристотеля) и математического анализа. Однако, не зная МСФ, Кантор предложил за пределами актуального мира считать как ни в чем не бывало также как и в пределах последнего, т.е. "шагом марш по числовой прямой!" На это беда не одного Кантора, а генетический порок всей финитной философии, и следовавших ей ученых. А действительно, чем это менее обосновано, чем моделирование небесной вечной жизни по образу и подобию земной!?
Метаматематика (или, по-русски, "теория доказательства") занимается тем, что учит наивных математиков, как нужно правильно доказывать их математические теоремы.
Как известно, Кантор доказал свою теорему в 91-м году позапрошлого столетия. Современные метаматематика, математическая логика и аксиоматическая теория множеств ничего нового к этому доказательству не добавили, но действительно используют эту теорему в качестве своего краеугольного камня.
Доказательство знаменитой теоремы Кантора, на которой построена вся современная метаматематика и аксиоматическая теория множеств, занимает всего... 10 строчек!
Невозможно поверить, что за 120 лет, прошедших с момента опубликования этого 10-строчного доказательства, два десятка поколений профессиональных математиков не смогли отделить "семена от плевел"!
Однако если теорема Кантора неверна, то в чем же причина такой поразительной живучести этого "патологического казуса"? Дело в том, что 10 строчек канторовского доказательства содержат 7 (семь!) очень нетривиальных логических ошибок. Если бы таких ошибок было одна-две, то скорее всего нам бы не пришлось сегодня и обсуждать проблему "бурбакизма". Но когда на "площади" в десять строчек "размещаются" семь ошибок, переплетенных в немыслимый клубок почти правдоподобных рассуждений, - нет ничего удивительного в том, что эта квазилогическая шарада оставалась неразгаданной более ста лет.
Вот одна из таких ошибок. За семь веков до Рождества Христова древнегреческий мудрец Эпименид изобрел, согласно Библии, знаменитый парадокс "Лжеца": "Я утверждаю, что я - лжец". Лжец ли я? Если я лжец, то я лгу, когда утверждаю, что я - лжец; следовательно, я не лжец. Но если я не лжец, то я говорю правду, когда утверждаю, что я - лжец; следовательно, я - лжец.
Как свидетельствует беспристрастная наша историческая наука, совокупный разум человечества, включая, естественно, и его достославная науку, вот уже более 2600 лет не может найти ответа на этот "детский" вопрос: "Кто же я, в конце концов, Лжец или не-Лжец?"
Коротко и символически это рассуждение можно записать так (здесь Л="Лжец"): ЕСЛИ "Л", ТО "не-Л", но ЕСЛИ "не-Л", ТО "Л".
Так вот, оказывается, что доказательство Кантора представляет собой... половину парадокса, т.е. утверждение типа: ЕСЛИ "Л", ТО "не-Л".
У любого нормального человека, не лишенного чувства юмора и "лево-правой" симметрии, сразу возникает вопрос: а нельзя ли эту половину достроить до полного парадокса? Оказывается можно! И мы приходим к довольно неожиданному для современной метаматематики выводу: знаменитое доказательство Кантора просто... не закончено автором. А если его завершить, как полагается по законам классической логики и классической математики, то мы получаем новый парадокс типа "Лжеца"! Таким образом, доказательство теоремы Кантора, а вместе с ним и вся современная метаматематика... построены на "Лжеце". Весьма сомнительное основание для "науки", которая претендует на роль "теории доказательства" современной (а также всей классической нулевой) математики. Словно бы наивные математики до сих пор и представления не имели о том, как им следует доказывать свои теоремы.
В чем же, однако, предполагается смысл грядущей контрреволюции в математике?
Если революция разрушает то, что было создано до нее, то, контрреволюция призвана восстановить лучшее из того, что не успела разрушить последняя революция. Революция, связанная с внедрением трансфинитных идей Георга Кантора в сознание метаматематиков, не смогла разрушить здравого смысла классической математики и классической логики Аристотеля. Вот их и предлагается восстановить в освященном тысячелетней практикой праве служить прочным основанием для стабильного развития науки и на ней основанной педагогической и практической деятельности человечества. Только и всего?
Метасистемная философия отвергает претензии априорного знания на то, чтобы быть критерием объективной истины поскольку абсолютных истин нет – есть только точки зрения взаимодействующих систем. Априорное знание присуще только системе в системе систем (СвСС). Оно существует как и всякое знание в форме человеческого сознания, которое вторично по отношению к актуальному миру, порождено им и определяется им. Эффект априорности есть свойство самого процесса познания, идеальное отражение наиболее общих отношений объективной реальности, мера которых еще не познана.

[А.Лексей]

Кантор постулировал математические объекты, не завершённые построением, а находящиеся в бесконечном процессе построения, как как бы завершённые. Это и породило ряд парадоксов.

Дабы избавить математику от подобных нехороших явлений, кроме общеизвестного направления математики, где принят 1) принцип исключённого третьего (либо истина, либо ложь, а третьего быть не может), давным-давно (начиная как минимум с Диогена) есть и другие направления математики, основанные на 2) трёхзначной логике, 3) многозначной логике, 4) "интуиционистским" аксиомам, 5) "конструктивистским" аксиомам и др.

Например, интересна ветвь математики, где отсутствует постулат "отрицание отрицания есть утверждение", где не допускаются доказательства "от противного" (опровержения), где требуется "выводимость" объектов, теорем (конструирование).

Можно поискать в энциклопедиях об этом по фамилиям Чёрч, Клини, Колмогоров и др.

Это направление избавляет математику от ряда парадоксов. Например, от парадокса брадобрея. Т.е. приказом по армии [по математике] брадобрею [объекту] приказано [постулировано свойство] брить всех тех и только тех, кто не бреет себя сам; за нарушение приказа -- расстрел; должен ли бриться брадобрей?

По Кантору, вполне допустимо рассматривать объект (назовём его "К-брадобрей"), вводимый аксиомой "по определению это тот, кто бреет всех тех и только тех, кто не бреет себя сам", и исследовать его многочисленные свойства... но... это... того-с, товарищи гусары... возникают неразрешимые проблемы -- неразрешимые в рамках Канторовского подхода.

По иным направлениям математики, такой объект вводить в рассмотрение НЕЛЬЗЯ, т.е. он в иных (неканторовских) направлениях математики НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Почему нельзя? А по определению нельзя и всё, нельзя рассматривать самопротиворечивые объекты, в конструктивистком направлении математики такие объекты невыводимы (их невозможно построить). А по Кантору это допустимо, мол, потому лишь, что такие объекты неопровержимы (их невозможно отрицать).

Мало ли какие объекты родятся вследствие умственного самоудовлетворения...

Вот, к примеру, А.В. Горшков предлагал для логической разминки учащимся следующие задачки.

Эпиграф:

«Все высказывания ложны, в том числе и это»

(Теория одного древнего философа)

1. «Глупая разминка с пустым множеством». Что такое «множество», «элемент множества», «принадлежание», «пустое множество», в частности, верно ли говорить, что «пустое множество – это множество, не содержащее элементов; пустое множество по определению принадлежит любому множеству»? Можно ли доказать, что пустое множество является элементом любого множества? Есть ли различие между «пустым множеством» и «множеством, состоящим только из пустого множества» ? Есть ли смысл у второго словосочетания ? Тождественно ли оно «пустому множеству» ? Пусто ли множество, состоящее только из пустого множества? Если множество П состоит только из пустого множества, то пусто ли множество П? Является ли пустое множество подмножеством пустого множества? Является ли пустое множество элементом множества П? Может ли множество являться элементом самого себя? Например, пустое? Может ли множество принадлежать (или быть подмножеством) самому себе (самого себя) ? Если А – некоторое непустое множество, то чему равно А\А ? Чему равно А\Æ ? Чему равно Æ\Æ ? Чему равно ÆÇÆ ? Чему равно ÆÈÆ ?
2. «Ловушка». Пусть А – множество всех множеств, а В – множество всех подмножеств множества А. У которого из них больше элементов ? Счётно ли множество элементов множества А? Счётно ли множество элементов множества В? Равномощны ли множества А и В?
3. «Капризные условия». Существуют ли натуральные N>1 такие, что существует хотя бы одна совокупность множества У, содержащего N условий, и некоторого математического объекта М (числа, неравенства, множества, высказывания, уравнения и др.), такая, что этот объект М удовлетворяет любому из подмножеств множества У, содержащему N-1 условий, но не удовлетворяет множеству У ? ||| Существует ли хотя бы один математический объект М такой, что для него существует множество У, состоящее из N условий, причём N>1, такое, что объект М не удовлетворяет множеству У, но удовлетворяет любому из его подмножеств, содержащему ровно N-1 условий ?
4. «МЯУ». Существует ли множество (конечное или бесконечное) высказываний такое, что любые два из них непротиворечивы (попарно), но множество противоречиво в совокупности ?
5. «ГАВ». Существует ли (конечное или бесконечное) упорядоченное множество высказываний такое, что оно непротиворечиво в совокупности, но для любого из его элементов (кроме, разве что, пустого множества) существует хотя бы один элемент (или хотя бы одно подмножество), его отрицающий (или отрицающее) ?
6. «Бесконечная манипуляция с истинного». Истинна ли бесконечная упорядоченная совокупность высказываний: {1) «Следующее высказывание истинно», 2) «Следующее высказывание ложно», 3) «Следующее высказывание истинно», … k) «Следующее высказывание если k – нечётное, то истинно, а если чётное, то ложно», … и т.д.}
7. «Бесконечная манипуляция с ложного». Истинна ли бесконечная упорядоченная совокупность высказываний: {1) «Следующее высказывание ложно», 2) «Следующее высказывание истинно», 3) «Следующее высказывание ложно», … k) «Следующее высказывание если k – нечётное, то ложно, а если чётное, то истинно», … и т.д.}
8. «Упрямство ложного». Истинна ли бесконечная упорядоченная совокупность высказываний: {1) «Следующее высказывание ложно», 2) «Следующее высказывание ложно», … и т.д.}? Ложна ли она ?
9. «Упрямство истинного». Истинна ли бесконечная упорядоченная совокупность высказываний: {1) «Следующее высказывание истинно», 2) «Следующее высказывание истинно», … и т.д.}? Ложна ли она ?
10. «Чётный цикл манипуляций». Истинна ли конечная зацикленная совокупность высказываний: {1) «Следующее высказывание истинно», 2) «Следующее высказывание ложно», 3) «Следующее высказывание истинно», 4) «Первое высказывание ложно».}
11. «Нечётный по лжи цикл манипуляций». Истинна ли конечная зацикленная совокупность высказываний: {1) «Следующее высказывание истинно», 2) «Следующее высказывание ложно», 3) «Первое высказывание истинно»}
12. «Нечётный по истине цикл манипуляций». Истинна ли конечная зацикленная совокупность высказываний: {1) «Следующее высказывание ложно», 2) «Следующее высказывание истинно», 3) «Первое высказывание ложно»}

----------------------------------------------------------------------------
Примечание.

Всё сие вовсе не значит, что теория Кантора (или бинарная логика Аристотеля) ложна: это всего лишь ВЕТВЬ единого целого -- математики. Самопротиворечивые ОБЪЕКТЫ в математике есть, см. выше. Но самопротиворечивых ТЕОРИЙ в математике нет, по определению термина "теория", и теория Кантора тоже сама СЕБЕ не противоречит. Понадобился гений Гёделя, чтобы показать, что в любой аксиоматической системе можно построить объекты (например, высказывания), которые будут неопровержимы, и такие объекты, которые будут невыводимы в этой (данной) системе аксиом. Кантор не успел этого понять и закончил жизнь в психбольнице.

[Иноземцев]

А.Лексий.
--------

в любой аксиоматической системе можно построить объекты (например, высказывания), которые будут неопровержимы, и такие объекты, которые будут невыводимы в этой (данной) системе аксиом.

------------------
Я по памяти, не заглядывая в матлогику.
"такие объекты" - избыточное, т.е. они одновременно и неопровержимы и невыводимы.

[Alycha]

Сообщение от Иноземцев

А.Лексий.
--------

------------------
Я по памяти, не заглядывая в матлогику.
"такие объекты" - избыточное, т.е. они одновременно и неопровержимы и невыводимы.

Не стоит ли, в связи с этим, проанализировать снова высказывание: "Все действительное разумно, а все разумное действительно" ?? ))))